Escoamento de Jeffery-Hamel

Na dinâmica de fluidos, o escoamento de Jeffery-Hamel é um escoamento criado por um canal convergente ou divergente com uma fonte ou sumidouro de volume de fluido no ponto de interseção das duas paredes planas. Recebe o nome em homenagem a George Barker Jeffery (1915) e Georg Hamel (1917), mas foi subsequentemente estudado por muitos cientistas importantes, como von Kármán e Levi-Civita, Walter Tollmien, F. Noether, W.R. Dean, Rosenhead, Landau, G.K. Batchelor etc. Um conjunto completo de soluções foi descrito por Edward Fraenkel em 1962.

Descrição do escoamento Considere duas paredes planas estacionárias com uma taxa de vazão volumétrica constante

Q

{\displaystyle Q}

sendo injetada/sugada no ponto de interseção das paredes planas e seja o ângulo subtendido pelas duas paredes igual a

2 α

{\displaystyle 2\alpha }

. Tome o sistema de coordenadas cilíndricas

( r , θ , z )

{\displaystyle (r,\theta ,z)}

com

r = 0

{\displaystyle r=0}

representando o ponto de interseção e

θ = 0

{\displaystyle \theta =0}

a linha central, e

( u , v , w )

{\displaystyle (u,v,w)}

são as componentes de velocidade correspondentes. O escoamento resultante é bidimensional se as placas forem infinitamente longas na direção axial

z

{\displaystyle z}

, ou se as placas forem longas porém finitas, caso se negligenciem os efeitos de borda, e pela mesma razão o escoamento pode ser assumido como inteiramente radial, ou seja,

u = u ( r , θ ) , v = 0 , w = 0

{\displaystyle u=u(r,\theta ),v=0,w=0}

. Então a equação da continuidade e as equações de Navier-Stokes incompressíveis se reduzem a

∂ ( r u )

∂ r

= 0 ,

u

∂ u

∂ r

= −

1 ρ

∂ p

∂ r

+ ν

[

1 r

∂

∂ r

(

r

∂ u

∂ r

)

+

1

r

2

∂

2

u

∂

θ

2

−

u

r

2

]

0

= −

1

ρ r

∂ p

∂ θ

+

2 ν

r

2

∂ u

∂ θ

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (ru)}{\partial r}}&=0,\\[6pt]u{\frac {\partial u}{\partial r}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}+\nu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}-{\frac {u}{r^{2}}}\right]\\[6pt]0&=-{\frac {1}{\rho r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+{\frac {2\nu }{r^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}\end{aligned}}}

As condições de contorno são a condição de não escorregamento em ambas as paredes e a terceira condição é derivada do fato de que o fluxo volumétrico injetado/sugado no ponto de interseção é constante através de uma superfície em qualquer raio.

u ( ± α ) = 0 ,

Q =

∫

− α

α

u r

d θ

{\displaystyle u(\pm \alpha )=0,\quad Q=\int _{-\alpha }^{\alpha }ur\,d\theta }

Formulação A primeira equação nos diz que

r u

{\displaystyle ru}

é apenas função de

θ

{\displaystyle \theta }

; a função é definida como

F ( θ ) =

r u

ν

.

{\displaystyle F(\theta )={\frac {ru}{\nu }}.}

Diferentes autores definem a função de maneira diferente, por exemplo, Landau define a função com um fator

6

{\displaystyle 6}

. Mas seguindo Whitham, e Rosenhead a equação de momento em

θ

{\displaystyle \theta }

torna-se

1 ρ

∂ p

∂ θ

=

2

ν

2

r

2

d F

d θ

{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}={\frac {2\nu ^{2}}{r^{2}}}{\frac {dF}{d\theta }}}

Agora, definindo

p −

p

∞

ρ

=

ν

2

r

2

P ( θ ) ,

{\displaystyle {\frac {p-p_{\infty }}{\rho }}={\frac {\nu ^{2}}{r^{2}}}P(\theta ),}

as equações de momento em

r

{\displaystyle r}

e

θ

{\displaystyle \theta }

reduzem-se a

P = −

1 2

(

F

2

+

F ′′

)

{\displaystyle P=-{\frac {1}{2}}(F^{2}+F'')}

P ′

= 2

F ′

,

⇒

P = 2 F + C

{\displaystyle P'=2F',\quad \Rightarrow \quad P=2F+C}

e substituindo isso na equação anterior (para eliminar a pressão) resulta em

F ′′

+

F

2

+ 4 F + 2 C = 0

{\displaystyle F''+F^{2}+4F+2C=0}

Multiplicando por

F ′

{\displaystyle F'}

e integrando uma vez,

1 2

F

′

2

+

1 3

F

3

+ 2

F

2

+ 2 C F = D ,

{\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}F^{3}+2F^{2}+2CF=D,}

1 2

F

′

2

+

1 3

(

F

3

+ 6

F

2

+ 6 C F − 3 D ) = 0

{\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}(F^{3}+6F^{2}+6CF-3D)=0}

onde

C , D

{\displaystyle C,D}

são constantes a serem determinadas a partir das condições de contorno. A equação acima pode ser reescrita convenientemente com três outras constantes

a , b , c

{\displaystyle a,b,c}

como raízes de um polinômio cúbico, sendo apenas duas constantes arbitrárias; a terceira constante é sempre obtida das outras duas porque a soma das raízes é

a + b + c = − 6

{\displaystyle a+b+c=-6}

.

1 2

F

′

2

+

1 3

( F − a ) ( F − b ) ( F − c ) = 0 ,

{\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}(F-a)(F-b)(F-c)=0,}

1 2

F

′

2

−

1 3

( a − F ) ( F − b ) ( F − c ) = 0.

{\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}-{\frac {1}{3}}(a-F)(F-b)(F-c)=0.}

As condições de contorno reduzem-se a

F ( ± α ) = 0 ,

Q ν

=

∫

− α

α

F

d θ

{\displaystyle F(\pm \alpha )=0,\quad {\frac {Q}{\nu }}=\int _{-\alpha }^{\alpha }F\,d\theta }

onde

R e = Q

/

ν

{\displaystyle Re=Q/\nu }

é o número de Reynolds correspondente. A solução pode ser expressa em termos de funções elípticas. Para o escoamento convergente

Q < 0

{\displaystyle Q<0}

, a solução existe para todos os

R e

{\displaystyle Re}

, mas para o escoamento divergente

Q > 0

{\displaystyle Q>0}

, a solução existe apenas para uma faixa particular de

R e

{\displaystyle Re}

.

Interpretação dinâmica Fonte: A equação assume a mesma forma de um oscilador não linear não amortecido (com potencial cúbico); pode-se supor que

θ

{\displaystyle \theta }

é o tempo,

F

{\displaystyle F}

é o deslocamento e

F ′

{\displaystyle F'}

é a velocidade de uma partícula com massa unitária, então a equação representa a equação de energia (

K . E . + P . E . = 0

{\displaystyle K.E.+P.E.=0}

, onde

K . E . =

1 2

F

′

2

{\displaystyle K.E.={\frac {1}{2}}F'^{2}}

e

P . E . = V ( F )

{\displaystyle P.E.=V(F)}

) com energia total nula, então é fácil ver que a energia potencial é

V ( F ) = −

1 3

( a − F ) ( F − b ) ( F − c )

{\displaystyle V(F)=-{\frac {1}{3}}(a-F)(F-b)(F-c)}

onde

V ≤ 0

{\displaystyle V\leq 0}

em movimento. Como a partícula começa em

F = 0

{\displaystyle F=0}

para

θ = − α

{\displaystyle \theta =-\alpha }

e termina em

F = 0

{\displaystyle F=0}

para

θ = α

{\displaystyle \theta =\alpha }

, há dois casos a serem considerados.

Primeiro caso:

b , c

{\displaystyle b,c}

são complexos conjugados e

a > 0

{\displaystyle a>0}

. A partícula começa em

F = 0

{\displaystyle F=0}

com velocidade positiva finita e atinge

F = a

{\displaystyle F=a}

onde sua velocidade é

F ′

= 0

{\displaystyle F'=0}

e a aceleração é

F ′′

= − d V

/

d F < 0

{\displaystyle F''=-dV/dF<0}

e retorna a

F = 0

{\displaystyle F=0}

no tempo final. O movimento da partícula

0 < F < a

{\displaystyle 0<F<a}

representa um movimento de fluxo de saída puro porque

F > 0

{\displaystyle F>0}

e também é simétrico em relação a

θ = 0

{\displaystyle \theta =0}

. Segundo caso:

c < b < 0 < a

{\displaystyle c<b<0<a}

, todas as constantes são reais. O movimento de

F = 0

{\displaystyle F=0}

para

F = a

{\displaystyle F=a}

e para

F = 0

{\displaystyle F=0}

representa um fluxo de saída simétrico puro, como no caso anterior. E o movimento de

F = 0

{\displaystyle F=0}

para

F = b

{\displaystyle F=b}

e para

F = 0

{\displaystyle F=0}

com

F < 0

{\displaystyle F<0}

para todo o tempo (

− α ≤ θ ≤ α

{\displaystyle -\alpha \leq \theta \leq \alpha }

) representa um fluxo de entrada simétrico puro. Mas também, a partícula pode oscilar entre

b ≤ F ≤ a

{\displaystyle b\leq F\leq a}

, representando regiões de fluxo de entrada e saída e o escoamento não precisa mais ser simétrico em relação a

θ = 0

{\displaystyle \theta =0}

. A rica estrutura dessa interpretação dinâmica pode ser encontrada em Rosenhead (1940).

Fluxo de saída puro Para o fluxo de saída puro, uma vez que

F = a

{\displaystyle F=a}

em

θ = 0

{\displaystyle \theta =0}

, a integração da equação governante resulta em

θ =

3 2

∫

F

a

d F

( a − F ) ( F − b ) ( F − c ) )

{\displaystyle \theta ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{F}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}}

e as condições de contorno tornam-se

α =

3 2

∫

0

a

d F

( a − F ) ( F − b ) ( F − c ) )

,

R e = 2

3 2

∫

0

α

F d F

( a − F ) ( F − b ) ( F − c ) )

.

{\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}},\quad Re=2{\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\alpha }{\frac {FdF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}.}

As equações podem ser simplificadas por transformações padrão dadas, por exemplo, em Jeffreys.

O primeiro caso, onde

b , c

{\displaystyle b,c}

são complexos conjugados e

a > 0

{\displaystyle a>0}

, leva a

F ( θ ) = a −

3

M

2

2

1 − cn ⁡ ( M θ , κ )

1 + cn ⁡ ( M θ , κ )

{\displaystyle F(\theta )=a-{\frac {3M^{2}}{2}}{\frac {1-\operatorname {cn} (M\theta ,\kappa )}{1+\operatorname {cn} (M\theta ,\kappa )}}}

M

2

=

2 3

( a − b ) ( a − c )

,

κ

2

=

1 2

+

a + 2

2

M

2

{\displaystyle M^{2}={\frac {2}{3}}{\sqrt {(a-b)(a-c)}},\quad \kappa ^{2}={\frac {1}{2}}+{\frac {a+2}{2M^{2}}}}

onde

sn , cn

{\displaystyle \operatorname {sn} ,\operatorname {cn} }

são funções elípticas de Jacobi.

O segundo caso, onde

c < b < 0 < a

{\displaystyle c<b<0<a}

, leva a

F ( θ ) = a − 6

k

2

m

2

sn

2

⁡ ( m θ , k )

{\displaystyle F(\theta )=a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}(m\theta ,k)}

m

2

=

1 6

( a − c ) ,

k

2

=

a − b

a − c

.

{\displaystyle m^{2}={\frac {1}{6}}(a-c),\quad k^{2}={\frac {a-b}{a-c}}.}

Forma limite A condição limite é obtida notando que o fluxo de saída puro é impossível quando

F ′

( ± α ) = 0

{\displaystyle F'(\pm \alpha )=0}

, o que implica

b = 0

{\displaystyle b=0}

a partir da equação governante. Assim, além destas condições críticas, não existe solução. O ângulo crítico

α

c

{\displaystyle \alpha _{c}}

é dado por

α

c

=

3 2

∫

0

a

d F

F ( a − F ) ( F + a + 6 ) )

,

=

3

2 a

∫

0

1

d t

t ( 1 − t ) { 1 + ( 1 + 6

/

a ) t }

,

=

K (

k

2

)

m

2

{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c}&={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {F(a-F)(F+a+6))}}},\\&={\sqrt {\frac {3}{2a}}}\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)\{1+(1+6/a)t\}}}},\\&={\frac {K(k^{2})}{m^{2}}}\end{aligned}}}

onde

m

2

=

3 + a

3

,

k

2

=

1 2

(

a

3 + a

)

{\displaystyle m^{2}={\frac {3+a}{3}},\quad k^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{3+a}}\right)}

onde

K (

k

2

)

{\displaystyle K(k^{2})}

é a integral elíptica completa de primeira espécie. Para valores grandes de

a

{\displaystyle a}

, o ângulo crítico torna-se

α

c

=

3 a

K

(

1 2

)

=

3.211

a

{\displaystyle \alpha _{c}={\sqrt {\frac {3}{a}}}K\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {3.211}{\sqrt {a}}}}

. O número de Reynolds ou fluxo volumétrico crítico correspondente é dado por

R

e

c

=

Q

c

ν

= 2

∫

0

α

c

( a − 6

k

2

m

2

sn

2

⁡ m θ )

d θ ,

=

12

k

2

1 − 2

k

2

∫

0

K

cn

2

⁡ t d t ,

=

12

1 − 2

k

2

[ E (

k

2

) − ( 1 −

k

2

) K (

k

2

) ]

{\displaystyle {\begin{aligned}Re_{c}={\frac {Q_{c}}{\nu }}&=2\int _{0}^{\alpha _{c}}(a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}m\theta )\,d\theta ,\\&={\frac {12k^{2}}{\sqrt {1-2k^{2}}}}\int _{0}^{K}\operatorname {cn} ^{2}tdt,\\&={\frac {12}{\sqrt {1-2k^{2}}}}[E(k^{2})-(1-k^{2})K(k^{2})]\end{aligned}}}

onde

E (

k

2

)

{\displaystyle E(k^{2})}

é a integral elíptica completa de segunda espécie. Para valores grandes de

a ,

(

k

2

∼

1 2

−

3

2 a

)

{\displaystyle a,\left(\ k^{2}\sim {\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2a}}\right)}

, o número de Reynolds ou fluxo volumétrico crítico torna-se

R

e

c

=

Q

c

ν

= 12

a 3

[

E

(

1 2

)

−

1 2

K

(

1 2

)

]

= 2.934

a

{\displaystyle Re_{c}={\frac {Q_{c}}{\nu }}=12{\sqrt {\frac {a}{3}}}\left[E\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}K\left({\frac {1}{2}}\right)\right]=2.934{\sqrt {a}}}

.

Fluxo de entrada puro Para o fluxo de entrada puro, a solução implícita é dada por

θ =

3 2

∫

b

F

d F

( a − F ) ( F − b ) ( F − c ) )

{\displaystyle \theta ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{b}^{F}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}}

e as condições de contorno tornam-se

α =

3 2

∫

b

0

d F

( a − F ) ( F − b ) ( F − c ) )

,

R e = 2

3 2

∫

α

0

F d F

( a − F ) ( F − b ) ( F − c ) )

.

{\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{b}^{0}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}},\quad Re=2{\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{\alpha }^{0}{\frac {FdF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}.}

O fluxo de entrada puro é possível apenas quando todas as constantes são reais

c < b < 0 < a

{\displaystyle c<b<0<a}

e a solução é dada por

F ( θ ) = a − 6

k

2

m

2

sn

2

⁡ ( K − m θ , k ) = b + 6

k

2

m

2

cn

2

⁡ ( K − m θ , k )

{\displaystyle F(\theta )=a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}(K-m\theta ,k)=b+6k^{2}m^{2}\operatorname {cn} ^{2}(K-m\theta ,k)}

m

2

=

1 6

( a − c ) ,

k

2

=

a − b

a − c

{\displaystyle m^{2}={\frac {1}{6}}(a-c),\quad k^{2}={\frac {a-b}{a-c}}}

onde

K (

k

2

)

{\displaystyle K(k^{2})}

é a integral elíptica completa de primeira espécie.

Forma limite À medida que o número de Reynolds aumenta (

− b

{\displaystyle -b}

torna-se maior), o escoamento tende a se tornar uniforme (aproximando-se assim da solução de escoamento potencial), exceto pelas camadas limite próximas às paredes. Como

m

{\displaystyle m}

é grande e

α

{\displaystyle \alpha }

é dado, fica claro pela solução que

K

{\displaystyle K}

deve ser grande, portanto

k ∼ 1

{\displaystyle k\sim 1}

. Mas quando

k ≈ 1

{\displaystyle k\approx 1}

, com

sn ⁡ t ≈ tanh ⁡ t ,

c ≈ b ,

a ≈ − 2 b

{\displaystyle \operatorname {sn} t\approx \tanh t,\ c\approx b,\ a\approx -2b}

, a solução torna-se

F ( θ ) = b

{

3

tanh

2

⁡

[

−

b 2

( α − θ ) +

tanh

− 1

⁡

2 3

]

− 2

}

.

{\displaystyle F(\theta )=b\left\{3\tanh ^{2}\left[{\sqrt {-{\frac {b}{2}}}}(\alpha -\theta )+\tanh ^{-1}{\sqrt {\frac {2}{3}}}\right]-2\right\}.}

Fica claro que

F ≈ b

{\displaystyle F\approx b}

em todos os lugares exceto na camada limite de espessura

O

(

−

b 2

)

{\displaystyle O\left({\sqrt {-{\frac {b}{2}}}}\right)}

. O fluxo volumétrico é

Q

/

ν ≈ 2 α b

{\displaystyle Q/\nu \approx 2\alpha b}

de modo que

|

R e

|

= O (

|

b

|

)

{\displaystyle |Re|=O(|b|)}

e as camadas limite possuem a espessura clássica

O

(

|

R e

|

1

/

2

)

{\displaystyle O\left(|Re|^{1/2}\right)}

.

Referências